基于啮合角函数的平面圆齿轮共轭齿廓求解及几何特性研究

　　式（１ ８）给出了啮台界限点的判定条件，显然，啮合凫 萄数决定了啮台莽限点。标准渐开缓侮廓的嘴台角不

　　等于零，所以它没寄啮台器眼点。 综上所述．当缩定啮合角函数ａ（口．）后，在齿廓陋

　　装束知鲍情援下，可预先对齿崩霸事半经、撞臻尖点鞠 啮合界限点进行系统地分析研究。

　　基于啮合角函数的共轭齿廓方程求解和几何特性 分析方法是对传统方法的突破和发展，为研究平面共 轭齿廓提供了简捷系统的基本方法。对齿轮传动理论 研究和设计制造具有重要意义。

　　东北兀学机械工程与自动化学院，辽宁沈阳１１０００６）林 菁Biblioteka Baidu王启义

　　摘要定义了啮合角函数，由此，建立了共轭齿廓方程，并导出齿廓曲率半径、齿廓孤长和滑动系数 计算公式；提出了齿廓根切和啮合界限点的条件。啮合角函数决定了齿廓形状及其几何特性，无需坐标 系问的旋转变换，可直接由啮合角函数求解共轭齿廓；无需先给定齿廓曲线，即可由啮合角函数系统地 对齿廓几何特性进行分析。该共轭齿廓的直接求解厦几何特性研究甚为简便。

　　为保证齿廓共轭，齿廊参数口、目．和２三者之间必须满 足式（３）或式（４）。为求解齿廓方便，定义函数ａ（日，） 或。（口：）为啮合角函数，其取值范围规定为

　　当绐定啮合角函数８（８，）后，通过式（１）、式（２）稻式 （３），在齿臻、搬条秘接舷簸述疆线未舞的壤琵下，无震 皇拣变换，静爵蠢羧求穗～霹共耗鹰褰方程，夭夫筵方 挺了共轻鸯臻静求辩。避黼将复杂静共轭齿纛求解转 化为简单翦啮合霸函数的定义，为齿形设计开辟了新 途径。

　　耀主韵霉鑫蒂蓬半疑＾分鬟豫疆式（１３）窝式（１５） 的褥边，褥茏鼙纲共轭齿廓癌率半径为

　　首先选定啮台角函数ｎ（日，），然后分别求出齿廓 法线））程啮合蹙函数敢导数ａ７。，再将

　　。（目．）、ｆ和。’（日，）代八式（”、式（２）、式（１３）、式（１５）和 式（强），即可确定共祝齿形及其几何特性。修改啮合 角函数，重复上述过程，可获得新齿形致其几何特性。 设啮合帮函数为多项式

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　　音理论研究：［博士学位论文］沈阳：东北大学，１９９９． ５林菁基于啮合角函数的平面共轭齿廓方程东北大学学报（自然科

　　３）啮合角函数决 定了共轭齿廓形状及 几何特性，揭示了共 轭齿廓的本质。通过 啮合角函数，可系统 地对共轭齿廓方程及 几何特性进行分析研 究，为研究共轭齿廓 提供了一种新的基本 方法。

　　１）定义了啮合角函数，提出了一种基于啮合角函 数的平面共轭齿廓求解薪方法，导出了齿廓啮合微分

　　用主动轮节嘲半径ｒ．分别除以式（１）或式（２）的 两边，得无量纲共轭齿廓方程为

　　点的法线与蠹枣节圈不楗变，则速点不可能成为接魅 点 齿窃上的接触点和非接触点的分界点称为啮合界 限点：显然，睦合磐限点妻奎的齿臻法线与齿辩节国梧 切．因此啮合界限点处的啮台角为零，即

　　学版）．１９９９，２０（２）：１８ｌ一１８５ ６吴序堂齿轮啮台原理北京：机槭工业出版社，１９８２

　　收藕日期：１９９９ ０９ １７ 作者苘舟：林菁（１９６Ｉ一），男，辽宁沈阳』、，副教授

　　2.林菁 基于啮合角函数的平面共轭齿廓方程[期刊论文]-东北大学学报(自然科学版) 1999(02)

　　共轭齿廓啮合原理主要解决共轭齿廓求解和几何 特性分析两大问题．传统的平面圆齿轮共轭齿廓（简 称共轭齿廓）方程的求解方法有３种ｏ ２。６：①已知一齿 痹方程求另一共轭的齿廓方程；②已知齿条方程求一 对共轭齿廓方程；③已知接触轨迹方程求一对共轭齿 廓方程＝上述求解方法均有两点局限，即对于已知曲 线（齿廓、齿条或接触轨迹曲线）的选定，尚无系统科学 的方法，通常采用试选法以及在齿廓求解过程中均须 进行直角坐标系问的旋转变换。因此齿廓方程的求解 甚为盲目复杂。对于共轭齿廓几何特性的分析，传统 方法是根据齿廓方程求解齿廓几何特性，若齿廓曲线 未知，则很难预先对卣廓几何特性进行分析研究。另 外，经旋转变换给出的齿廓方程比较复杂。６Ｊ，致使齿廓 几何特性分析更加困难。

　　嘏据以上分析缩采，当给定嘀台南函数后，在蓝簿 和接触轨迹曲线未知的情淝下，可直接求出齿廓弧长 和齿廓滑动系数：而且褙动系数∞仪与啮合角函数 ＆（８；）和传动比ｉ有关。

　　２）导出了基于啮 合角函数的齿廓曲率 半径、齿廓弧长和滑 动系数计算公式，提 出了齿廓根切和啮合 界限点条件。根据这 些公式，无需求解齿 廓曲线，可预先系统 地对齿廓几何特性进 行分析研究。

　　拜’ｌ｝。＝ｓ浊（８＋参ｌ＞（１＋口＋嘎）ｆ＋ｃ档（８＋孚｝）（重＋ｇ＋毫）歹 ｆ孽）

　　阶导数为 ｚ’，ｑ“ｒｌ ８ｉｎ ｎ＋ｆ（１＋ｄ’日，）］ｓｉｎ（ｄ＋岛）（１０）

　　现我们提出了啮合角函数概念，建立了基于啮合 角函数的共轭齿廓方程，导出了齿廓啮合基本定律的 微分表达式——齿廓啮合微分方程。通过啮合角函 数，无需预先给定一条齿廓、齿条或接触轨迹曲线，无 需进行坐标系间的旋转变换，即可直接求解共轭齿廓。

　　我们在系统地研究了啮合角函数与共轭齿廓几何 特性的关系的基础上，导出了基于啮台角函数的齿廓 曲率半径、齿廓弧长和滑动系数计算公式，提出了齿廓 根切和啮台界限点的条件。根据这些公式，无需求解 齿廓曲线，即可预先系统地对齿廓几何特性进行分析 研究，甚为简便。

　　曲线，无需万进方行数坐据标系间的旋转变换，大大地方便了共 轭齿廓的直接求解。

　　＆＝辱。＋。，只＋吼戢＋…＋如＋ｌ或一 式中系数％＋。，，…，％一．为常数。系数ｏ。，ｎＩ，…， ％＋，取不疑氆，则褥刘不慝的嗤含恁函数，相应麴共糍 齿形及其几村特性亦不同。

　　嚣４菠承为３穆多褒式皤台燕丞数妁无羹纲齿彩 投其综合曲率半径（ｍ＝ｐ，ｐ：／（ｐ｝＋ｎ））和滑动系数

　　为分摄计算方埂，求ｄｓ；时，规定齿襄簦辘上的点总是 沿＊轴的正方向变化，这样（＆．ｄ属）＞０，所以

　　式中ｉ为簧动托。毒察上式＋霹稚共轭齿露形裴与节 圆半径无关，主动轮漪嚣形拣仅取决于啮台霆函数 。（口，），而从动轮辫廓形状仪取决于啮台角函数。（口。） 和传动比ｆ。

　　式中ｄ’％＝ｄ。，ｄ吼，将式（１３）和式（１５）的口４目。和ａ ７目， 消去，整理盾，ＥｕｌｅＰＳａｖａｒｙ公式１６：可写成

　　式中的ｐ．和ｐ：应考虑正负号。根据式（１３）和式 （１５），菇鼹翘婚廓ｉ和２的节圆半径ｒ。和ｒ：，当给定 啮台魏涵数詹，在齿摩和接熬轨迹盐线未知静情况下， 碍囊接求整一封遴薅接簸点筵豹燕率半径。